TAKSIRAN INTERVAL UNTUK PROPORSI

A.    Definisi Taksiran Interval Untuk Proporsi

      Misalkan X adalah peubah acak berdistribusi binomial dengan parameter n dan p. dalam hal ini, n menunjukan banayak pengulangan percobaan dan p menyatakan proporsi dari peristiwa yang diperhatikan atau sukses. Kita akan menetukan lebih dahulu taksiran titik untuk p yang tak bias. Dalam distribusi binonmial berlaku bahwa E(X) = np. Dari E(X) = np, maka E  jadi taksiran titik untuk p yang tak bias adalah adalah  .

B.     Distribusi Untuk Penaksir Titik

kita akan menentukan distribusi dari  . distribusi binomial dapat didekati kepada distribusi normal untuk n →  . pendekatan ini dinamakan sebagai pendekatan De Miovre-Laplace. Berikut ini akan dijelaskan penurunan dari pendekatan tersebut. Fungsi kepadatan peluang dari X adalah :

f(x)      =  

            = 0                               ; lainnya.

Kemudian digunakan pendekatan Sterling’s untuk n!,x!, dan (n – x) yaitu :

(i)    n!  =͂ .

(ii) x! =͂ .

(iii)                        (n – x)! =͂  .

Lalu ketiga hasil pendekatan diatas disubstitusikan kedalam fungsi kepadatan peluang f(x).

f(x) =  

      =  .  

      =

      =    .

 =

                      =  

                     =

Dengan : N =

            ln N =   +

Misalkan : Z =

Hubungan antara nilai x dan X dengan nilai z dari Z ditentukan dengan :

Z =

(i)    x = np + z

(ii)  

(iii)                        

                          =  n (1 – p) - z

 

(iv)                         

Sehingga :

ln N = (np +    + ) . ln  +(np +    + ) . ln

Dengan menggunakan perluasan deret MacLaurin diperoleh :

(i)                ln  

(ii)             ln  

Maka :

ln N = (np +    + )  

+ (np +    + )

= (p + q)      

 

                   = .

Karena z .

Ternyata secara pendekatan peubah acak X berdistribusi normal dengan rerata np dan variansi npq. Atau ditulis X berdistribusi N (np;npq). Sehungga peubah acak

       i.            µ = E

     ii.           

C.     Besaran Pivot

Kita menentukan besaran pivot, yaitu besaran yang mengandung pivotnya adalah:

Z =

D.    Distribusi Untuk Besaran Pivot

Kemudian kita akan menetukan distribusi dari Z itu. Dengan menggunakan teknik fungsi pembangkit momen, Z akan didistribusi normal baku. Atau ditulis Z berdistribusi N(0;1). Grafik dari Z =

0

Za/2

-Za/2

 

Gambar 4.4.

Dari gambar 4.4 dapt dilihat bahwa :

P(

P

P

Karena nilai p tidak diketahui maka p ditaksir oleh p̂= .

P

Jdi taksiran interval untuk proporsi p dengan derajat keyakinan sebesar (  adalah:

Dengan :

                                i.           

                              ii.           

Untuk lebih memahami penerapan dari taksiran interval untuk proporsi, berikut inim akan diberikan contoh soalnya.

Contoh 4.4:

Misalkan diperumahan Elok Permai pekerjaan para kepala keluarganya dibagi dalam tiga kelompok, yaitu: pegawai negeri, pegawai swasta, dan membuka usaha sendiri.kemudian diambil sampel acak yang terdiri dari 350 kepala keluarga dan dilihat jenis pekerjaanya. Ternyata 210 kepala keluarga diantaranya bekerja sebagai pegawai negeri. Tentukan taksiran interval untuk proporsi yang sebenarnya dari kepala keluarga yang bekerja sebagai pegawai negeri dengan menambil derajat keyakinan sebesar 90%.

Penyelesaian :

Taksiran interval untuk proporsi dengan mengambil derajat keyakinan sebesar 90% dirumuskan sebagai berikut :

Dalam hal ini;

       i.           

     ii.           

    iii.            adalah nilai yang diperoleh dari tabel distribusi normal baku dengan peluan sebesar 1 - 0,05 = 0,95 . ternyata = 1,645

Jadi :

0,6 – (1,645) 0,6 +(1,645)

0,6 – 0,04 < p < 0,6 + 0,04

0,56 < p < 0,64

Sehingga taksiran interval untuk proporsi yang sebenarnya dari kepala keluarga yang bekerja sebagi pegawai negeri di perumahan Elok Permai terletak antara 56% dan 64% dengan mengambil derajat keyakinan sebesar 90%.